Question

如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+，-2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A₁B₁C₁，再以x轴为对称轴作△A₁B₁C₁的对称图形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接写出点C₁、C₂的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？

Answer 1

解：（1）点C₁、C₂的坐标分别为（3-，-2）、（3-，2）．

（2）能通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置，所旋转的度数为180°；

（3）①当△ABC向上平移2个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时点C的坐标为（-3+，0）（如图1）；
②当α=180时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时点C的坐标为（-3-，0）（如图2）．
分析：（1）直接根据轴对称的性质：纵坐标不变横坐标变为原来的相反数可求；
（2）利用旋转的性质可知：旋转的度数为180°能通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置；
（3）根据图形和平移的性质可知①当△ABC向上平移2个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时点C的坐标为（-3+，0）；
利用旋转的性质可知②当α=180时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时点C的坐标为（-3-，0）．
点评：本题考查轴对称和旋转、平移的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．掌握旋转，平移和轴对称的性质是解题的关键．