Question

求出能表示为n=

(a+b+c)2

abc

（a，b，c为正整数）的所有正整数n．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：

分析：首先设a≤b≤c，根据abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c，得到ab≤6，然后利用完全平方公式得到ac≥4或bc≥4或ab≥4或bc≥4，且ab≥4，从而得到4≤ab≤6且a≤b≤c，然后根据符合条件的三个未知数的整数值得到符合条件的正整数解共有两组，一组为：1，4，5；一组为：2，2，4．

解答：解：不妨设a≤b≤c，则有abc=2（a+b+c）≤2（c+c+c）=6c，
∴有ab≤6，
∵（a-b）²=a²-2ab+b²，
∴a²+b²≥2ab且abc=2（a+b+c），
∴4（a+b+c）=2abc≤（a²+b²）c，4a+4b+4c-a²c-b²c≤0，
a（4-ac）+b（4-bc）+4c≤0，
∵a，b，c为正整数，
∴要使4a+4b+4c-a²c-b²c≤0成立，只能是4-ac≤0或4-bc≤0，
∴ac≥4或bc≥4，
同理可得：ab≥4或bc≥4，且ab≥4，
因此有4≤ab≤6且a≤b≤c，共有以下几种可能：
当a=1，b=4时，代入原式可解得：c=5；
当a=1，b=5时，代入原式可解得：c=4，不符合a≤b≤c，舍去；
当a=1，b=6时，代入原式可解得：c不是整数，舍去；
当a=2，b=2时，代入原式可解得：c=4；
当a=2，b=3时，代入原式可解得：c不是整数，舍去；
所以符合条件的正整数解共有两组，一组为：1，4，5；一组为：2，2，4．

点评：本题考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意得到有关三个未知数的大小关系，另外还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．