Question

12．小明是个爱动脑筋的孩子，他在学完与圆有关的角圆周角、圆心角后，意犹未尽，又查阅到了与圆有关的另一种角------弦切角．请同学们先仔细阅读下面的材料，再完成后面的问题．
材料：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．如图1，弧$\widehat{AmB}$是弦切角∠PAB所夹的弧，他发现弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有关系．

问题1：如图2，直线DB切⊙O于点A，∠PCA是圆周角，当圆心O位于边AC上时，
求证：∠PAD=∠PCA，请你写出这个证明过程．
问题拓展：
如果圆心O不在∠PCA的边上，∠PAD=∠PCA还成立吗？如图3，当圆心O在∠PCA的内部时，小明证明了这个结论是成立的．他的思路是：作直线AE，联结PE，由问题1的结论可知∠PAD=∠PEA，而∠PCA=∠PEA，从而证明∠PAD=∠PC．
问题2：如图4，当圆心O在∠PCA的外部时，∠PAD=∠PCA仍然成立．请你仿照小明的思路证明这个结论．
运用：如图5，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．（提示：可以直接使用本题中的结论）

Answer 1

分析 问题1：利用切线的以及圆周角定理即可证明∠PAD=∠PCA；
问题2：首先连接AO并延长交⊙O于点D′，连接PD′，由圆周角定理可得∠D′=∠C，又由AD′是直径，AB切圆于点A，易证得∠PAD=∠PCA，继而证得结论；
运用：连接DF，AD是△ABC中∠BAC的平分线，⊙O与BC切于点D，可得∠FDC=∠EAD，又由圆周角定理可得∠EAD=∠EFD，继而证得结论．

解答 解：问题1：
证明：
∵AC是圆的直径，
∴∠APC=90°，
∴∠ACP+∠PAC=90°，
∵直线DB切⊙O于点A，
∴∠DAC=90°，
∴∠PAD+∠PAC=90°，
∴∠PAD=∠PCA；
问题2：如图4，

连接AO并延长交⊙O于点D′，连接PD′，
由问题1可知∠PAD=∠D′，
∵∠C=∠D′，
∴∠PAD=∠PCA；
运用：连接DF，如图5，

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵⊙O与BC切于点D，
∴∠FDC=∠DAC，
∴∠FDC=∠EAD，
∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，
∴∠FDC=∠EFD，
∴EF∥BC．

点评 此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、圆周角定理以及平行线的判定．注意准确作出辅助线是解此题的关键．