解答:解:根据条件可得,(a+1)(c+1)=(b+1)
2(1),
设a+1=n
2x,c+1=m
2y,其中x、y不含大于1的平方因子,则必有x=y,这是由于(mn)
2xy=(b+1)
2(2),
则mn|(b+1),设b+1=mn•w,于是(2)化为,xy=w
2(3),
若w>1,则有质数p
1|w,即
|w2,因x、y皆不含大于1的平方因子,因此p
1|x,p
1|y.
设x=p
1x
1,y=p
1y
1,w=p
1w
1,则(3)化为x
1y
1=
(4),
若仍有w
1>1,则又有质数p
2|w
1,即
|,因x
1,y
1皆不含大于1的平方因子,则p
2|x
1,p
2|y
1,
设x
1=p
2x
2,y
1=p
2y
2,w
1=p
2w
2,则(4)化为
x2y2=,…,如此下去,因(3)式中w的质因数个数有限,
故有r,使w
r=1,而从
xryr=,
得,x
r=y
r=1,从而x=p
1p
2…p
r=y,改记x=y=k,
则有,
(5),
其中1≤n<m,a<b<c<100 (6),
k无大于1的平方因子,并且k≠1,否则若k=1,则c=m
2-1,
∵c大于第三个质数5,
即c=m
2-1>5,m≥3,得c=m
2-1=(m-1)(m+1)为合数,矛盾.
因此k或为质数,或为若干个互异质数之乘积,(即k大于1,且无大于1的平方因子).
我们将其简称为“k具有性质p”.
(1)据(6),m≥2(2).
当m=2,则n=1,有
,因c<100,得k<25;
若k≡1(bmod3),则3|c且c>3,得c为合数;
若k≡2(bmod3):
在k为偶数时,具有性质p的k有2、14,分别给出a=2-1=1,b=2•14-1=27不为质数;
k为奇数时,具有性质p的k值有5、11、17、23,分别给出的a=k-1皆不为质数;
若k≡0(bmod3),具有性质p的k值有3、6、15、21:
当k=3时,给出解f
1=(a,b,c)=(2,5,11);
当k=6时,给出解f
2=(a,b,c)=(5,11,23);
当k=15、21时,分别给出的a=k-1皆不为质数;
若m=3,则n=2或1.
在m=3、n=2时,
,因质数c≤97,得k≤10,具有性质p的k值有2、3、5、6、7、10:
在k为奇数3、5、7时,给出c=9k-1皆为合数;
在k=6时,给出b=6k-1=35为合数;
在k=10时,给出a=4k-1=39为合数;
在k=2时,给出解f
3=(a,b,c)=(7,11,17);
在m=3、n=1时,
,k≤10,具有性质p的k值有2、3、5、6、7、10:
在k为奇数3、5、7时,给出的b=3k-1皆为合数;
在k=2和10时,给出的a=k-1不为质数;
在k=6时,给出解f
4=(a,b,c)=(5,17,53);
(3)m=4时,由c=16k-1≤97(4)得k≤6(5),具有性质p的k值有2、3、5、6.
在k=6时,c=16×6-1=95为合数;
在k=5时,
,因n<m=4,则n可取1、2、3,分别得到a、b至少一个不为质数;
在k=3时,c=48-1=47,
,因n<m=4:
在n=3时给出的a、b为合数;
在n=2时给出解f
5=(a,b,c)=(11,23,47);
在n=1时给出解f
6=(a,b,c)=(2,11,47);
在k=2时,c=16k-1=31,
,n<m=4,只有在n=3时给出解f
7=(a,b,c)=(17,23,31);
(6)m=5时,c=25k-1≤97(7),具有性质p的k值有2、3,分别给出c=25k-1(8)为合数;
(9)m=6时,c=36k-1≤97(10),具有性质p的k值只有2,因此可以得到c=2×36-1=71(11),
这时
| (12)a=2n2-1 | (13)b=12n-1(14) |
| |
(15),n<m=6(16),只有在n=2时给出解f
8=(a,b,c)=(7,23,71)(17);
在n=4时给出解f
9=(a,b,c)=(31,47,71)(18);
(19)m=7时,c=49k-1≤97(20),具有性质p的k值只有2得c=2×49-1=97(21),
而n<m=7(22),
| (23)a=2n2-1 | (24)b=14n-1(25) |
| |
(26),
只有在n=3时给出解f
10=(a,b,c)=(17,41,97)(27);
在n=6时给出解f
11=(a,b,c)=(71,83,97)(28);
(29)m≥8(30)时,c=64k-1≤97(31),具有性质p的k值不存在.
因此,满足条件的解共有11组,即为上述的f
1,f
2,…,f
11.