Question

试求满足下列条件的三元阵列（a，b，c）．
（1）a＜b＜c＜100，a、b、c为质数；
（2）a+1、b+1、c+1组成等比数列．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：由a+1、b+1、c+1组成等比数列得出（a+1）（c+1）=（b+1）²，进一步利用平方的性质和整除的性质分别探讨得出答案即可．

解答：解：根据条件可得，（a+1）（c+1）=（b+1）²（1），
设a+1=n²x，c+1=m²y，其中x、y不含大于1的平方因子，则必有x=y，这是由于（mn）²xy=（b+1）²（2），
则mn|（b+1），设b+1=mn•w，于是（2）化为，xy=w²（3），
若w＞1，则有质数p₁|w，即

p

2 1

|w2，因x、y皆不含大于1的平方因子，因此p₁|x，p₁|y．
设x=p₁x₁，y=p₁y₁，w=p₁w₁，则（3）化为x₁y₁=

w

2 1

（4），
若仍有w₁＞1，则又有质数p₂|w₁，即

p

2 2

|

w

2 1

，因x₁，y₁皆不含大于1的平方因子，则p₂|x₁，p₂|y₁，
设x₁=p₂x₂，y₁=p₂y₂，w₁=p₂w₂，则（4）化为x2y2=

w

2 2

，…，如此下去，因（3）式中w的质因数个数有限，
故有r，使w_r=1，而从xryr=

w

2 r

，
得，x_r=y_r=1，从而x=p₁p₂…p_r=y，改记x=y=k，
则有，

a=kn2-1 b=kmn-1 c=km2-1

（5），
其中1≤n＜m，a＜b＜c＜100 （6），
k无大于1的平方因子，并且k≠1，否则若k=1，则c=m²-1，
∵c大于第三个质数5，
即c=m²-1＞5，m≥3，得c=m²-1=（m-1）（m+1）为合数，矛盾．
因此k或为质数，或为若干个互异质数之乘积，（即k大于1，且无大于1的平方因子）．
我们将其简称为“k具有性质p”．
（1）据（6），m≥2（2）．
当m=2，则n=1，有

a=k-1 b=2k-1 c=4k-1

，因c＜100，得k＜25；
若k≡1（bmod3），则3|c且c＞3，得c为合数；
若k≡2（bmod3）：
在k为偶数时，具有性质p的k有2、14，分别给出a=2-1=1，b=2•14-1=27不为质数；
k为奇数时，具有性质p的k值有5、11、17、23，分别给出的a=k-1皆不为质数；
若k≡0（bmod3），具有性质p的k值有3、6、15、21：
当k=3时，给出解f₁=（a，b，c）=（2，5，11）；
当k=6时，给出解f₂=（a，b，c）=（5，11，23）；
当k=15、21时，分别给出的a=k-1皆不为质数；
若m=3，则n=2或1．
在m=3、n=2时，

a=4k-1 b=6k-1 c=9k-1

，因质数c≤97，得k≤10，具有性质p的k值有2、3、5、6、7、10：
在k为奇数3、5、7时，给出c=9k-1皆为合数；
在k=6时，给出b=6k-1=35为合数；
在k=10时，给出a=4k-1=39为合数；
在k=2时，给出解f₃=（a，b，c）=（7，11，17）；
在m=3、n=1时，

a=4k-1 b=6k-1 c=9k-1

，k≤10，具有性质p的k值有2、3、5、6、7、10：
在k为奇数3、5、7时，给出的b=3k-1皆为合数；
在k=2和10时，给出的a=k-1不为质数；
在k=6时，给出解f₄=（a，b，c）=（5，17，53）；
（3）m=4时，由c=16k-1≤97（4）得k≤6（5），具有性质p的k值有2、3、5、6．
在k=6时，c=16×6-1=95为合数；
在k=5时，

a=5n2-1 b=20n-1

，因n＜m=4，则n可取1、2、3，分别得到a、b至少一个不为质数；
在k=3时，c=48-1=47，

a=3n2-1 b=12n-1

，因n＜m=4：
在n=3时给出的a、b为合数；
在n=2时给出解f₅=（a，b，c）=（11，23，47）；
在n=1时给出解f₆=（a，b，c）=（2，11，47）；
在k=2时，c=16k-1=31，

a=2n2-1 b=8n-1

，n＜m=4，只有在n=3时给出解f₇=（a，b，c）=（17，23，31）；
（6）m=5时，c=25k-1≤97（7），具有性质p的k值有2、3，分别给出c=25k-1（8）为合数；
（9）m=6时，c=36k-1≤97（10），具有性质p的k值只有2，因此可以得到c=2×36-1=71（11），
这时

(12)a=2n2-1 (13)b=12n-1(14)

（15），n＜m=6（16），只有在n=2时给出解f₈=（a，b，c）=（7，23，71）（17）；
在n=4时给出解f₉=（a，b，c）=（31，47，71）（18）；
（19）m=7时，c=49k-1≤97（20），具有性质p的k值只有2得c=2×49-1=97（21），
而n＜m=7（22），

(23)a=2n2-1 (24)b=14n-1(25)

（26），
只有在n=3时给出解f₁₀=（a，b，c）=（17，41，97）（27）；
在n=6时给出解f₁₁=（a，b，c）=（71，83，97）（28）；
（29）m≥8（30）时，c=64k-1≤97（31），具有性质p的k值不存在．
因此，满足条件的解共有11组，即为上述的f₁，f₂，…，f₁₁．

点评：此题考查质数的特征以及等比数列的性质，是一道综合性很强的题目．