Question

7．如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在AB、AC上，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，那么$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．（用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示）

Answer 1

分析 先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），求得$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{BC}$的数量关系，然后再根据$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，可得$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$的数量关系．

解答 解：连接AG，并延长AG交BC于点F．

∵DE∥BC，
∴AG：AF=DE：BC；
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG：AF=2：3，
∴DE：BC=2：3；即$\overrightarrow{DE}$：$\overrightarrow{BC}$=2：3；
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

点评 本题主要考查了三角形的重心、平面向量．在解答此题时要注意两点：①三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即AG：GF=2：1，而不是AG：AF=2：1；②平面向量是有方向的．