Question

【题目】已知：在四边形 ABCD 中，∠A+∠C=180°，DB 平分∠ADC.

(1)如图 1求证:AB=BC

(2)如图 2，若∠ADB=60°，,试判断△ABC 的形状，并说明理由.

(3)如图 3，在(2)得条件下,在 AB 上取一点 E, BC 上取一点 F,连接 CE、AF 交于点 M,连接 EF,若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8(CF﹥BF)，求 AE 的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等边三角形，理由见解析；（3）AE=5.

【解析】

（1）在DC上取一点H使DH=DA，易证△DAB≌△DHB，可得AB=HB，∠A=∠DHB，然后根据等角的补角相等以及等角对等边可得HB=BC，易证结论；

（2）连结AC，根据角平分线的定义和四边形内角和定理求出∠ABC =60°，即可得到△ABC是等边三角形；

（3）过点C作CN⊥AD交AD的延长线于点N，根据含30°直角三角形的性质求出DN=4，NC=，然后利用勾股定理求得AB= AC=13，由ASA证明△CAE≌△ABF，得到AE=BF，过点F作FK⊥AB，设BK=x，然后用含x的式子表示出FK和EK，在Rt△EFK中通过勾股定理列方程，求出x的值即可得解（注意舍去不合题意的解）.

解：（1）如图1，在DC上取一点H使DH=DA，

在△DAB和△DHB中，，

∴△DAB≌△DHB（SAS），

∴AB=HB，∠A=∠DHB，

∵∠A+∠C=180°，∠DHB+∠BHC=180°，

∴∠C=∠BHC，

∴HB=BC，

∴AB=BC；

（2）△ABC是等边三角形，

理由：如图2，连结AC，

∵∠ADB=60°，∠A+∠C=180°，

∴∠ADC=120°，

∴∠ABC=180°-∠ADC=60°，

又由（1）得AB=BC，

∴△ABC是等边三角形；

（3）过点C作CN⊥AD交AD的延长线于点N，

∵∠ADC=120°，CD=8，

∴∠NDC=60°，

∴DN=4，NC=，

∴AN=AD+DN=11，

∴AC=，

∴AB= AC=13，

∵∠ACE=∠CMF-∠CAM=60°-∠CAM，∠FAB=60°-∠CAM，

∴∠ACE=∠FAB，

在△CAE和△ABF中， ，

∴△CAE≌△ABF（ASA），

∴AE=BF，

过点F作FK⊥AB，

设BK=x，则BF=2x，FK=x，

∴AE=BF=2x，

∴EK=AB-AE-BK=13-3x，

在Rt△EFK中，EF2=EK2+FK2，

∴72=(13-3x)2+(x)2，

解得：x1=，x2=4（舍去），

∴AE=2x=5.