Question

【题目】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，且B的坐标为（8，6），动点D从B点出发，以1个单位长度每秒的速度向C点运动t秒（D不与B，C重合），连接AD，将△ABD沿AD翻折至△AB'D（B'在矩形的内部或边上），连接DB'，DB'所在直线与AC交于点F，与OA所在直线交于点E．

（1）①当t＝ 秒，B'与F重合；

②求线段CB'的取值范围；

（2）①求EB'的长度（用含t的代数式表示），并求出t的取值范围；

②当t为何值时，△AEF是以AE为底的等腰三角形？并求出此时EC的长度．

Answer 1

【答案】（1）①3；②4≤CB'<8；（2）①EB' ＝ (0<t≤6）；②当t为2时，△AEF是以AE为底的等腰三角形，CE＝2．

【解析】

(1)①直接利用题意填写即可；②由题意得，AB=6，然后以点B'的运动轨迹确定CB'的取值范围.(2)①设AE＝DE＝x，过点D作DM⊥x轴于点M，再应用勾股定理结合题意即可解答;②若△AEF是以AE为底的等腰三角形，则∠AEF＝∠EAF，利用全等三角形的相关知识解答即可.

解：（1）①t＝ 3 秒

②由题意知，AB＝AB'＝6

所以点B'的运动轨迹为以A为圆心以6为半径的圆

∴CB'的取值范围是 4≤CB'<8

（2）①如图：过点D作DM⊥x轴于点M，易证AE＝DE 设AE＝DE＝x

在Rt△DME中 ， DM2＋ME2＝DE2

∴ (x－t)2＋62＝x2

解得x＝＋．即DE＝＋

∴ EB' ＝＋－t

＝－＋ (0<t≤6）

②若△AEF是以AE为底的等腰三角形，则∠AEF＝∠EAF

易证△AOC≌△EMD

∴ AC＝DE

＋＝10 解得t1＝2，t2＝18(舍去)

当t为2时，△AEF是以AE为底的等腰三角形

此时ME＝OA＝10，OE＝2, CE＝2．