Question

已知函数y=x²-4x与x轴交于原点O及点A，直线y=x+a过点A与抛物线交于点B．
（1）求点B的坐标与a的值；
（2）是否在抛物线的对称轴存在点C，在抛物线上存在点D，使得四边形ABCD为平行四边形？若存在求出C、D两点的坐标，若不存在说明理由；
（3）若（2）中的平行四边形存在，则以点C为圆心，CD长为半径的⊙C与直线AB有何位置关系？并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数y=x²-4x与x轴交于原点O及点A，当y=0，0=x²-4x，求出图象与x轴交点坐标，进而求出a的值，再求出两图象交点坐标，即可得出B点坐标；
（2）利用平行四边形的性质得出C，D两点坐标即可；
（3）根据两点之间的距离求法得出CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，即可得出AC⊥AB，进而得出⊙C与直线AB相交．

解答：解：（1）∵函数y=x²-4x与x轴交于原点O及点A，
∴当y=0，0=x²-4x，
解得：x₁=0，x₂=4，
故图象与x轴交于A点：（4，0），
将A点代入y=x+a，
得：0=4+a，
则a=-4，
将y=x-4与y=x²-4x联立：

y=x-4 y=x2-4x

，
解得：

x1=1 y1=-3

，

x2=4 y2=0

，
故B的坐标（1，-3），a=-4；

（2）存在．
如图所示，假设四边形ABCD为平行四边形，
因为BC∥AD，BC=AD，又点B坐标为（1，-3），点C的横坐标为2，点A的横坐标为4，
所以点D的横坐标为4+1=5，点D的纵坐标y=5²-4×5=5，点C的纵坐标为-3+5=2，
即C（2，2），D（5，5）；

（3）⊙C与直线AB相交．理由如下：
如图所示，连接AC，
∵C（2，2），D（5，5），B（1，-3），A（4，0），
∴CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，
∴CD²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥AB，
∵AC=2

2

＜3

2

，
因此⊙C与直线AB相交．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平面内两点之间的距离求法，正确求出C，D两点距离是解题关键．