Question

6．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部（不包含边界），求m的取值范围；
（3）点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值即可；
（2）先求得抛物线的顶点M的坐标，然后再求得点C的坐标，接下来，再求得直线CB的解析式，将x=1代入直线BC的解析式求得对应的y值为-2，由平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部，可得到-2＜-4+m＜0，最后解不等组即可；
（3）当点P在Q的上时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3，当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为-3，然后分别将y=3和y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值即可．

解答 解：（1）将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．
把x=0代入抛物线的解析式得：y=-3，
∴C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-3．
∴直线BC的解析式为y=x-3．
把x=1代入y=x-3得：y=-2，
∵平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部，
∴-2＜-4+m＜0，解得2＜m＜4．

（3）当点P在Q的上时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3．
把y=3代入抛物的解析式x²-2x-3=3，解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$．
∴点P的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．
当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为-3．
把y=-3代入抛物的解析式x²-2x-3=-3，解得：x=2或x=0（舍去）
∴点P的坐标为（2，-3）．
综上所述，当点P的坐标为（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、平行四边形的性质，依据平移后的抛物线的顶点坐标在△△BOC的内部列出关于m的不等式是解答问题（2）的关键，依据平行四边形的性质求得P的纵坐标是解答问题（3）的关键．