Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；

（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F．求证：；

（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：．

Answer 1

【答案】2；见解析；见解析．

【解析】

试题根据四边形的内角和定理得出DE⊥AB，从而得到BE的长度；取AB的中点G，连接DG，得出DG为△ABC的中位线，则DG=DC，∠BGD=∠C=60°，根据四边形对角互补得出∠GED=∠DFC，从而得到△DEG和△DFC全等，得到EG=CF，得出答案；取AB的中点G，连接DG，同⑵，易证△DEG≌△DFC得出EG=CF，设CN=x，根据Rt△DCN得出CD=2x，DN=x，根据题意得出EG、BE与x的关系，从而进行说明．

试题解析：（1）、由四边形AEDF的内角和为，可知DE⊥AB，故BE=2

（2）、取AB的中点G，连接DG 易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°

又四边形AEDF的对角互补，故∠GED=∠DFC ∴△DEG≌△DFC 故EG=CF

∴BE+CF=BE+EG=BG=AB

（3）、取AB的中点G，连接DG 同⑵，易证△DEG≌△DFC 故EG=CF

故BE-CF=BE-EG=BG= 设 在Rt△DCN中，CD=2x，DN=

在RT△DFN中，NF=DN=，故EG=CF= BE=BG+EG=DC+CF=2x+=

故BE+CF=

故