Question

【题目】如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F．
（1）如图1，求证：EF∥AC；

（2）如图2，OP⊥AO交BE于点P，交FE的延长线于点M．求证：△PME是等腰三角形；

（3）如图3，在（2）的条件下：CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，交AC于Q点，如图2，若sinF= ，EQ=5，求PM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OE，

∵EF是圆的切线，

∴OE⊥FE，

∴∠F+∠FOE=90°，

∴AB为直径，

∴∠C=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE是∠B的平分线，

∴∠OBE=∠CBE，

∵∠FOE=∠OEB+∠OBE，

∴∠EOF=∠ABC，

∴∠F=∠CAB，

∴EF∥AC；

（2）解：连接OC，OE，

∵OP⊥AO交BE于点P，

∴∠OPB+∠OBE=90°，

∵∠OEB+∠MEB=90°，

∴∠OPB=∠MEB，

又∵∠OPB=∠EPM，

∴∠MEP=∠MPE，

∴MP=ME，

∴△PME是等腰三角形；

（3）解：连接OE，

∵∠F=∠CAB，

∴sinF=sin∠CAB= ，

∵EG⊥AB于H点，

∴ ，

∴∠AEG=∠ABE，

∵∠ABE=∠EAC，

∴∠EAC=∠AEG，

∴AQ=EQ=5，

∵QH=3，AH=4，

∴EH=EQ+QH=8，

设OE=x，则OH=AO﹣AH=x﹣4，

在Rt△EHO中，x2=82+（x﹣4）2，

解得：x=10，

∴OE=10，

∵BE是∠B的平分线，

∴ ，

∴OE⊥AC，

∴∠CAB+∠AOD=90°，

∵∠EOM+∠AOD=90°，

∴∠EOM=∠CAB，

∴sin∠EOM= ，

∴tan∠EOM= = ，

∴ME= ，

∴PM=ME= ．

【解析】（1）EF是圆的切线，因此；连接OE，OE⊥FE，即∠F+∠FOE=90°，AB为直径，得出∠ABC+∠CAB=90°，再证明∠OEB=∠OBE，由BE是∠B的平分线，得出∠OBE=∠CBE，再证明∠F=∠CAB，即可得出结论。
（2）连接OC，OE，由OP⊥AO得出∠OPB与∠OBE互余，∠OEB与∠MEB互余，得出∠OPB=∠MEB，再根据对顶角相等，推出MP=ME，即可得出结论。
（3）连接OE，根据已知求出sin∠CAB的值及EH的长，在Rt△EHO中，根据勾股定理建立方程，解方程求出OE的长，再证明∠EOM=∠CAB，在Rt△EPM中，求出ME的长，即可得出PM的长。
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．