Question

15．已知△ABC，在下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③b²=a²-c²；④a：b：c=1：3：2；⑤a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m，n为正整数，且m＞n），能使△ABC构成直角三角形的选法有①③⑤．

Answer 1

分析 ①②利用三角形内角和定理求得各个角的度数进行判断；
③④⑤利用勾股定理的逆定理即可判断．

解答 解：①∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180，
∴x=15，
∴∠A=45°，则∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵b²=a²-c²，
∴b²+c²=a²，
∴此三角形是直角三角形，故③正确．
④∵a：b：c=1：3：2，
∴设a=x，则b=3x，c=2c，
∴a+c=b，则不能构成三角形，故④错误；
⑤a²+b²=（m²-n²）+（2mn）²=m⁴+n²+2m²n²，
c²=（m²+n²）²=m⁴+n⁴+2m²n²，
∴a²+b²=c²．
则△ABC是直角三角形，故⑤正确．
故答案是：①③⑤．

点评 本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，正确利用完全平方公式的变形证明⑤是本题的关键．