Question

如图，已知OABC是矩形，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OC=6cm，OA=8cm．点P从点A开始沿边AO向点O以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，C同时出发．

（1）①若连接OQ、PB，试判断四边形OPBQ的形状，并说明理由；
②若连接PQ、OB，经过几秒？使得QP⊥OB；
（2）点K在x轴上，经过几秒时？△PQK是等边三角形，并求点K的坐标．
（3）点E为OC边上的一动点，试说明PE+QE的最小值是一个定值，并求出这个值．

Answer 1

分析：（1）①由BQ∥OP且BQ=OP，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OPBQ是平行四边形；
②当QP⊥OB时，四边形OPBQ是菱形，根据OQ=OP列出方程求解即可；
（2）过点P作PM⊥BC于M．根据等边三角形及垂线的性质得出∠MPQ=30°，由直角三角形的性质得出PQ=2QM，然后在直角△PMK中根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）作点P关于y轴的对称点P′，连接P′Q，交y轴于点E，则P′Q即为PE+QE的最小值．过点Q作QF⊥x轴于点F，在△P′QF中根据勾股定理求出P′Q的值为10cm．

解答：解：（1）①四边形OPBQ是平行四边形，理由如下：
如图1①，∵OABC是矩形，
∴BC=OA=8cm，BC∥OA，
∴BQ∥OP，
又∵CQ=AP=tcm，
∴BQ=OP=（8-t）cm，
∴四边形OPBQ是平行四边形；
②设经过t秒能够使得QP⊥OB．
如图1②，连接OQ、PB．
∵四边形OPBQ是平行四边形，
∴当QP⊥OB时，?OPBQ是菱形，
∴OQ=OP，
∴6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

．
故经过

7

4

秒能够使得QP⊥OB；

（2）设经过t秒，△PQK是等边三角形．
如图2，过点P作PM⊥BC于M，则∠PMQ=∠MPK=90°．
∵△PQK是等边三角形，
∴∠KPQ=60°，
∴∠MPQ=∠MPK-∠KPQ=90°-60°=30°，
∴PQ=2QM．
∵AP=BM=CQ=tcm，
∴QM=（8-2t）cm，PQ=（16-4t）cm．
在△PMQ中，∵∠PMQ=90°，
∴QM²+PM²=PQ²，即（8-2t）²+6²=（16-4t）²，
整理，得t²-8t+13=0，
解得t=4±

3

．
当t=4-

3

时，∵AK=AP+PK=AP+PQ=t+16-4t=16-3t=16-3（4-

3

）=4+3

3

＞8，
∴KO=AK-OA=4+3

3

-8=3

3

-4，
∴K（4-3

3

，0），运动时间（4-

3

）秒；
当t=4+

3

时，∵OK=OP+PK=AP+PQ=8-t+16-4t=24-5t=24-5（4+

3

）=4-5

3

＜0，
∴t=4+

3

不合题意舍去．
故点K在x轴上，经过（4-

3

）秒时，△PQK是等边三角形，此时点K的坐标为（4-3

3

，0）；

（3）如图3，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′Q，交y轴于点E，连接PE．
∵P与P′关于y轴对称，
∴PE=P′E，OP=OP′，
∴PE+QE=P′E+QE=P′Q，最小．
过点Q作QF⊥x轴于点F，∠QFP′=90°，OF=CQ．
∵OF=CQ=AP=tcm，
∴OP=OP′=（8-t）cm，
∴P′F=OP′+OF=8-t+t=8cm．
在△P′QF中，∵∠QFP′=90°，
∴P′Q²=P′F²+QF²=8²+6²=100，
∴P′Q=10（cm），
∴PE+QE的最小值是10cm．
故PE+QE的最小值是一个定值，这个值是10cm．

点评：本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等边三角形、直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，综合性较强，有一定难度．