Question

某农场计划建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，为了节约费用，鸡场一边靠着原有的一堵旧墙（墙长25米），另外的三边用木栏围成（如图所示）．已知整修旧墙的费用是每米10元，新建木栏的费用是每米30元．设利用旧墙AD的长度为x米，整修旧墙和新建木栏所需的总费用为y元．
（1）试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若整修旧墙和新建木栏的总费用为1 200元，则应利用旧墙多少米？
（3）为了确保完成整修旧墙和新建木栏的任务，总费用能否少于1 200元？请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得出：AB=，
∴y=10x+30x+2××30，
=40x+（0＜x≤25）；

（2）根据题意得出：
40x+=1200，
解得：x₁=x₂=15，
∴利用旧墙15米；

（3）假设总费用为k元时，能确保完成任务，
∴40x+=k，
即：40x²-kx+9000=0，
该方程有实数根：
∴b²-4ac=k²-4×40×9000=k²-1440000≥0，
解得：k≥1200，
∴总费用不能少于1 200元．
分析：（1）总费用包括旧围墙的费用和新围墙的费用两部分组成；
（2）令y=1200求得x的值即可；
（3）求得总费用后与1200元比较即可．
点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是得到反比例函数的解析式．