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17.如图,AB∥CD,EM是∠AMF的平分线,NF是∠CNE的平分线,EN、MF交于O点
(1)若∠AMF=50°,∠CNE=40°,求∠E,∠F的度数;
(2)若图中∠E+60°=2∠F,求∠AMF的度数;
(3)探究∠E,∠F与∠MON之间的数量关系.

分析 (1)作EH∥AB,如图,利用平行线的性质得EH∥CD,则∠1=∠AME,∠2=∠CNE,于是得到∠E=∠AME+∠CNE,而∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF,所以∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE;同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE,再∠AMF=50°,∠CNE=40°代入计算即可;
(2)由(1)的结论得到∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE,∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE,变形得到2∠F=2∠AMF+∠CNE,利用等式的性质得2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF,加上∠E+60°=2∠F,即2∠F-∠E=60°,于是得到$\frac{3}{2}$∠AMF=60°,易得∠AMF的度数;
(3)与(1)的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE,再变形∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE,∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE得到2∠E=∠AMF+2∠CNE,2∠F=2∠AMF+∠CNE,把两式相加得2∠E+2∠F=3(∠AMF+∠CNE),则∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$(∠E+∠F),所以∠MON=$\frac{2}{3}$(∠E+∠F).

解答 解:(1)作EH∥AB,如图,
∵AB∥CD,
∴EH∥CD,
∴∠1=∠AME,∠2=∠CNE,
∴∠E=∠AME+∠CNE,
∵EM是∠AMF的平分线,
∴∠AME=$\frac{1}{2}$∠AMF,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE=$\frac{1}{2}$×50°+40°=65°;
同理可得∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE=50°+$\frac{1}{2}$×40°=70°;
(2)∵∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE,∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE,
∴2∠F=2∠AMF+∠CNE,
∴2∠F-∠E=$\frac{3}{2}$∠AMF,
∵∠E+60°=2∠F,即2∠F-∠E=60°,
∴$\frac{3}{2}$∠AMF=60°,
∴∠AMF=40°;
(3)与(1)的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE,
而∠E=$\frac{1}{2}$∠AMF+∠CNE,∠F=∠AMF+$\frac{1}{2}$∠CNE,
∴2∠E=∠AMF+2∠CNE,2∠F=2∠AMF+∠CNE,
∴2∠E+2∠F=3(∠AMF+∠CNE),
∴∠AMF+∠CNE=$\frac{2}{3}$(∠E+∠F),
∴∠MON=$\frac{2}{3}$(∠E+∠F).

点评 本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键.

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