Question

18．如图1，在正方形ABCD中，AB=4，M，N分别是AD、CD上一点．
（1）若DN=1，∠AMB=90°，求AM的长；
（2）若N是CD的中点，且∠NMB=∠MBC，
①求tan∠ABM的值；
②在图2中，请仅用无刻度的直尺作出点M的位置，并说明确定M位置的理由．（要求：写出作法，并保留作图痕迹）

Answer 1

分析 （1）由∠AMB+∠A+∠ABM=180°、∠AMB=90°、∠A=90°知∠ABM=0°，即点M与点A重合，可得答案；
（2）①设AM=x，知DM=4-x，证△DMN≌△CPN得MN=NP=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，根据BP=4+4-x=8-x知8-x=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，解之可得x=4或x=$\frac{4}{3}$，继而可得答案；
②当x=4即∠ABM=45°，知AM=AB=4，即点D、M重合，连BD可得；当x=$\frac{4}{3}$时，即点M为AD的三等分点，过点N作NP⊥AB于点P，连接AC交PD于点O，过点O作OM⊥AD于点D，证△APO∽△CDO得$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，再证△DMO∽△DAP得$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{2}{3}$，即AM=$\frac{1}{3}$AD．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
又∵∠AMB+∠A+∠ABM=180°，∠AMB=90°，
∴∠ABM=0°，即点M与点A重合，
∴AM=0；

（2）①设AM=x，
∵AD=4，
∴DM=4-x，

延长MN交BC于P，
∵N为CD中点，
∴DN=CN，
在△DMN和△CPN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DNM=∠CNP}\\{DN=CN}\\{∠D=∠NCP=90°}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△CPN（ASA），
∴MN=NP=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
又∵BP=4+4-x=8-x，
∴8-x=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
解得：x=4或x=$\frac{4}{3}$，
∴tan$∠ABM=\frac{AM}{AB}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$或tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{4}{4}$=1；

②当AM=4时，即∠ABM=45°，
如图2，连接BD，则AB=AD=4，此时∠ABM=45°，AM=AD=4；

当AM=$\frac{4}{3}$时，即点M为AD的三等分点，
如图3，过点N作NP⊥AB于点P，连接AC交PD于点O，过点O作OM⊥AD于点D，

∵AP∥CD，且$\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴△APO∽△CDO，
∴$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
又∵OM⊥AD，
∴OM∥AP，
∴△DMO∽△DAP，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{2}{3}$，即AM=$\frac{1}{3}$AD，
故点M即为所求点．

点评 本题主要考查四边形的综合，考查的知识点有全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．