Question

在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的内部（边界及顶点除外）一格点P（“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）满足S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，就称P为“好点”．
（1）请你判断：P（20，15）是“好点”吗？
（2）求出正方形OABC内部“好点”的个数．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式把点P（20，15）代入好点的条件，如果满足，则点P是“好点”，如果不满足，则点P不是“好点”；
（2）设点P的坐标为（x，y），把点P的坐标代入好点条件，求出x与y的关系式，然后根据关系式找出在正方形内的点的坐标的个数，就是“好点”的个数．

解答：解：（1）∵S_△POA•S_△PBC=

1

2

×50×15×

1

2

×50×35=25²×15×35，
S_△PAB•S_△POC=

1

2

×50×30×

1

2

×50×20=50²×30×20，
∴S_△POA•S_△PBC≠S_△PAB•S_△POC．
∴P（20，15）不是“好点”．

（2）设P（x，y），其中x，y均为正整数，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA•S_△PBC=S_△PAB•S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，点P在对角线OB或AC上．
故满足条件的“好点”共有2×49-1=97（个）．

点评：本题通过正方形的性质考查了“好点”，有新意，只要利用三角形的面积，根据“好点”的定义列式进行计算即可判断，难度不大．