【题目】如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,),点B(3,﹣),O为坐标原点.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;
(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小及点C的坐标.
【答案】(1);(2)t>4;(3)∠BOC=60°,C(,)
【解析】
(1)将已知点坐标代入y=ax2+bx,求出a、b的值即可;
(2)利用抛物线增减性可解问题;
(3)观察图形,点A,点B到直线OC的距离之和小于等于AB;同时用点A(1,),点B(3,﹣)求出相关角度.
(1)把点A(1,),点B(3,﹣)分别代入y=ax2+bx得
,解得
∴y=﹣
(2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x=,
当x>时,y随x的增大而减小,
∴当t>4时,n<m.
(3)如图,设抛物线交x轴于点F,分别过点A、B作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E
∵AC≥AD,BC≥BE,
∴AD+BE≤AC+BE=AB,
∴当OC⊥AB时,点A,点B到直线OC的距离之和最大.
∵A(1,),点B(3,﹣),
∴∠AOF=60°,∠BOF=30°,
∴∠AOB=90°,
∴∠ABO=30°.
当OC⊥AB时,∠BOC=60°,点C坐标为(,).
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【题目】选择适当的方法解下列方程:
(1)7x(3x-4)=9(3x-4);
(2)x2-6x+9=(5-2x)2;
(3)2x2-5x-7=0;
(4)x2-2x-1=0.
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【题目】如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F,则下列等式:
①∠EDF=∠B;
②2∠EDF=∠A+∠C;
③2∠A=∠FED+∠EDF;
④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°,其中成立的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】小张去文具店购买作业本,作业本有大、小两种规格,大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元,已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.
(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元?
(2)因作业需要,小张要再购买一些作业本,购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍,总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本?
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【题目】某校为了了解学生对语文、数学、英语、物理四科的喜爱程度(每人只选一科),特对八年级某班进行了调查,并绘制成如下频数和频率统计表和扇形统计图:
科目 | 频数 | 频率 |
语文 | 0.5 | |
数学 | 12 | |
英语 | 6 | |
物理 | 0.2 |
(1)求出这次调查的总人数;
(2)求出表中的值;
(3)若该校八年级有学生1000人,请你算出喜爱英语的人数,并发表你的看法.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A. ac<0 B. ab>0 C. 4a+b=0 D. a﹣b+c>0
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【题目】问题提出:某物业公司接收管理某小区后,准备进行绿化建设,现要将一块四边形的空地(如图5,四边形ABCD)铺上草皮,但由于年代久远,小区规划书上该空地的面积数据看不清了,仅仅留下两条对角线AC,BD的长度分别为20cm,30cm及夹角∠AOB为60°,你能利用这些数据,帮助物业人员求出这块空地的面积吗?
问题显然,要求四边形ABCD的面积,只要求出△ABD与△BCD(也可以是△ABC与△ACD)的面积,再相加就可以了.
建立模型:我们先来解决较简单的三角形的情况:
如图1,△ABC中,O为BC上任意一点(不与B,C两点重合),连接OA,OA=a,BC=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),试用a,b,α表示△ABC的面积.
解:如图2,作AM⊥BC于点M,
∴△AOM为直角三角形.
又∵∠AOB=α,∴sinα=即AM=OAsinα
∴△ABC的面积=BCAM=BCOAsinα=absinα.
问题解决:请你利用上面的方法,解决物业公司的问题.
如图3,四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=20m,BD=30m,∠AOB=60°,求四边形ABCD的面积.(写出辅助线作法和必要的解答过程)
新建模型:若四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,已知AC=a,BD=b,∠AOB=α(α为OA与BC所夹较小的角),直接写出四边形ABCD的面积= .
模型应用:如图4,四边形ABCD中,AB+CD=BC,∠ABC=∠BCD=60°,已知AC=a,则四边形ABCD的面积为多少?(“新建模型”中的结论可直接利用)
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