Question

如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD=6，∠D=60°，E、F分别为BC、CD上两动点（不与端点重合），且∠AEF=120°，设BE=x，CF=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）x取何值，y有最大值，最大值多少？

Answer 1

分析：（1）由BE=x，BC=6，根据EC=BC-BE表示出EC，然后由BC与AD平行，可得∠C与∠D互补，由∠D的度数求出∠C的度数，在三角形ECF中利用三角形的内角和定理求出其余两角之和，又根据∠AEF的度数，利用平角定义求出剩下两角之和，发现求出的两个和相等，利用等量代换可得∠CFE=∠AEB，再根据梯形ABCD为等腰梯形可得∠C与∠B相等，从而利用两对对应角相等的两三角形相似可得三角形ABE与三角形CEF相似，由相似得比例，把AB，BE，EC及CF的长代入即可列出y与x的函数关系式；
（2）由E、F分别为BC、CD上两动点（不与端点重合），且BE=x，求出x的范围，再把第一问中求出的函数关系式配方，根据其中的二次项系数a小于0得到函数图象为开口向下的抛物线，故根据完全平方式最小值为0可得y的最大值，并求出此时x的值．

解答：解：（1）∵AB=BC=CD=6，BE=x，CF=y，
∴EC=6-x，
∵BC∥AD（已知），
∴∠C+∠D=180°（两直线平行同旁内角互补），
又∠D=60°（已知），
∴∠C=120°（等量代换），
∴∠CEF+∠CFE=60°（三角形的内角和定理），
又∠AEF=120°（已知），
∴∠CEF+∠AEB=60°（平角定义），
∴∠CFE=∠AEB（等量代换），
又梯形ABCD中，BC∥AD，AB=CD（已知），
∴∠B=∠C（等腰梯形同一底上的两个角相等），
∴△ABE∽△ECF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴

AB

EC

=

BE

CF

（相似三角形的对应边成比例），
即

6

6-x

=

x

y

，
则y=-

1

6

x²+x；

（2）由0＜x＜6，
函数y=-

1

6

x²+x=-

1

6

（x-3）²+

3

2

为开口向下的抛物线，
当x=3时，y有最大值，y的最大值为

3

2

．

点评：此题属于一道四边形与相似形及方程、函数的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值以及等腰梯形的性质，解决此类问题需要一定的数学思想，即方程思想和函数思想，本题的思路为通过已知条件得出相似三角形，由相似三角形得比例式，进而列出y与x的函数关系式，最后根据二次函数求最值的方法求出y的最大值及此时x的值，学生在求二次函数最值时一定注意自变量x的范围．