Question

【题目】如图，在△ABF中，以AB为直径的作⊙O，∠BAF的平分线AD交⊙O于点D，AF与⊙O交于点E，过点B的切线交AF的延长线于点C

（1）求证：∠FBC＝∠FAD；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据等角的余角相等即可证明．

（2）连接DE．证明△AED∽△BFC即可解决问题．

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

又∵AD平分∠BAF，

∴∠BAD＝∠FAD，

∵BC切⊙O于B点，

∴∠ABC＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝∠FBC+∠ABD＝90°，

∴∠BAD＝∠FBC，

∴∠FBC＝∠FDA．

（2）解：连接DE．

∵∠ADB＝90°，AD平分∠BAF，

∴△ABF是等腰三角形，

∴∠ABD＝∠AFD，BF＝2FD，

∵，

∴，

∵四边形AEDB内接于⊙O，

∴∠AED+∠ABD＝180°，

∵∠AFD+∠CFB＝180°，

∵∠ABD＝∠AFD，

∴∠AED＝∠CFB，

∵∠FBC＝∠FAD，

∴△AED∽△BFC，

∴ ．