Question

（人教版）已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E．
（1）如图①，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并写出结论（不需要证明）．

Answer 1

分析：（1）连接OQ，则OQ⊥QE，根据等腰直角三角形两底角相等可得∠OBP=∠OQB，再根据∠BQA=45°，即可推出∠AQE+∠OBP=90°-∠OQA=45°；
（2）连接OQ，可得△OBQ是等腰三角形，所以∠OBQ=∠OQB，由QE是⊙O的切线可得OQ⊥QE，根据圆周角定理可得∠AQB=135°，从而得到∠OQA=135°-∠OQB，然后整理即可得到∠OBP-∠AQE=45°．

解答：（1）证明：如图①，连接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBP=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=

1

2

∠AOB=

1

2

×90°=45°，
∵EQ是切线，
∴∠OQE=90°，
∴∠OBP+∠AQE=∠OQB+∠AQE=90°-∠BQA=90°-45°=45°；

（2）解：如图②，连接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=

1

2

×（360°-90°）=135°，
∴∠OQA=∠BQA-∠OQB=135°-∠OBQ，
∵EQ是切线，
∴∠OQE=90°，
∴135°-∠OBQ+∠AQE=90°，
整理得，∠OBQ-∠AQE=45°，
即∠OBP-∠AQE=45°．

点评：此题主要考查圆的切线的性质及同圆的半径相等等知识．此题（2）问为探索题，培养同学们的类比思想和探索问题的能力，此种问题一般都是继续利用前一问的求解思路进行求解．