Question

17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，M是BC延长线上一点，连接AM交⊙O于点D，延长BD至点N，使得BN=AM，连接CN，MN．
（1）判断△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）求证：CN是⊙O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得到CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，再证明△BCN≌△ACM得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，则∠MCN=∠ACB=60°，于是可判断△CMN为等边三角形；
（2）连接OC，如图，利用CA=CB得到$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，则根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再证明AB∥CN，则OC⊥CN，然后根据切线的判定方法可判断CN是⊙O的切线；
（3）连接CD，如图，证明△ACD∽△AMC，利用相似比得到AD•AM=AC²，然后利用等边△ABC的边长是2可得到AD•DM的值．

解答 （1）解：△CMN为等边三角形．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCN和△ACM中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBN=∠CAM}\\{BN=AM}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN，
∴∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN为等边三角形；

（2）证明：连接OC，如图，
∵CA=CB，
∴$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，
∴OC⊥AB，
∵∠ABC=∠MCN=60°，
∴AB∥CN，
∴OC⊥CN，
∴CN是⊙O的切线；

（3）解：连接CD，如图，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACM+∠ACB=180°，
而∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ADC=∠ACM，
而∠DAC=∠CAM，
∴△ACD∽△AMC，
∴AC：AD=AM：AC，
∴AD•AM=AC²，
∵等边△ABC的边长是2，
∴AC=2，
∴AD•DM=4．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握等边三角形的判定于性质、垂径定理、圆周角定理和切线的判定方法；会利用全等三角形的知识解决角、线段相等的问题，利用相似三角形的知识计算线段的长．