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如图1,在平面直角坐标系中,已知点M的坐标是(3,0),半径为2的⊙M交x轴于E、F两点,过点P(-1,0)作⊙M的切线,切点为点A,过点A作AB⊥x轴于点C,交⊙M于点B.抛物线y=ax2+bx+c经过P、B、M三点.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点Q是抛物线上一动点,且位于P、B两点之间,设四边形APQB的面积为S,点Q的横坐标为x,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值和此时点Q的坐标;
(3)如图2,将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B,试判断直线AF与弧AE′B的位置关系,并说明理由.
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分析:(1)连接AM,则AM⊥PA,又AB⊥x轴,可知∠MAC=∠APM,Rt△APM中,sin∠APM=
AM
PM
=
2
1+3
=
1
2
,故∠APM=30°,在Rt△ACM中,AM=2,∠MAC=∠APM=30°,解直角三角形可求CM,AC,确定A点坐标,根据对称性求B点坐标,抛物线过P、M,设抛物线交点式,将B点坐标代入即可;
(2)如图1,过Q点作QH⊥x轴,垂足为H,根据S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ表示面积,利用函数的性质求面积最大值及此时Q点的坐标;
(3)相切.如图2,连接AE,证明
AE′B
的圆心为E点,判断∠EAF=90°即可.
解答:解:(1)连接AM,∵PA切⊙M于点A,
∴AM⊥PA,又AB⊥x轴,
∴∠MAC=∠APM,Rt△APM中,PM=PO+OM=1+3=4,AM=2,
∴sin∠APM=
AM
PM
=
1
2
,∠APM=30°,
在Rt△ACM中,AM=2,∠MAC=∠APM=30°,
CM=AM•sin30°=2×
1
2
=1,AC=AM•cos30°=2×
3
2
=
3

∴OC=OM-CM=3-1=2,A(2,
3
),
∵A、B两点关于x轴对称,
∴B(2,-
3
),
∵抛物线过P(-1,0)、M(3,0),设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),
将B(2,-
3
)代入,得a(2+1)(2-3)=-
3
,解得a=
3
3

∴y=
3
3
(x+1)(x-3)=
3
3
x2-
2
3
3
x-
3


(2)如图1,过Q点作QH⊥x轴,垂足为H,由(1)得H(x,0),Q(x,
3
3
x2-
2
3
3
x-
3

S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ=
1
2
×PC×AC+
1
2
×PH×QH+
1
2
×(QH+BC)×CH
=
1
2
×3×
3
+
1
2
×(x+1)×(-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
)+
1
2
×(
3
-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
)×(2-x)
=-
3
2
x2+
3
2
x+4
3

∵-
3
2
<0,四边形APQB的面积有最大值,
当x=
1
2
时,四边形APQB的面积最大值为
33
3
8
,此时Q(
1
2
,-
5
3
4
);

(3)直线AF与弧AE′B相切.如图2,连接AE,
由(1)可知,
AE
度数为60°,根据对称性可知
AE′
度数为60°,△AEE′为等边三角形,
AE′B
的圆心为E点,∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+60°=90°,
∴直线AF与弧AE′B相切.
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点评:本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆心角定理、切线的性质与判定、特殊三角形的判定和性质等知识点.
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(2,2)

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2
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(-3,2
2
(-3,2
2
,点B的坐为
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)

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