Question

【题目】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_____；

（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy=，则x﹣y=______；

（3）若（3x﹣2y）2=5，（3x+2y）2=9，求xy的值．

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？_____．

Answer 1

【答案】（1）（a+b）2-（a﹣b）2=4ab；（2）±4；（3）；（4）（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2.

【解析】

（1）在图2中，大正方形由小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）由（1）的结论得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把x+y=5，xy=代入，然后利用平方根的定义求解即可；（3）把（3x+2y）2变形为（3x﹣2y）2+4×3x2y的形式，再代入（3x+2y）2与（3x﹣2y）2的值，即可求出xy的值；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2．

（1）∵图2中阴影部分为边长为（b-a）的正方形，

∴阴影部分的面积（b-a）2，

∵边长为a+b的正方形的面积减去边长为b-a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，

∴（a+b）2-（a﹣b）2=4ab，

故答案为：（a+b）2-（a﹣b）2=4ab

（2）由（1）得（x+y）2-（x-y）2=4xy，

∵x+y=5，xy=，

∴25-（x-y）2=9，

∴（x-y）2=16，

∴x-y=±4，

故答案为：±4

（3）由（1）得（3x+2y）2=（3x﹣2y）2+4×3x2y

∵（3x﹣2y）2=5，（3x+2y）2=9，

∴9=5+24xy，

∴xy=.

（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，

∴（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2．

故答案为：（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2