Question

7．一座拱型桥，桥下水面宽度AB是16米，拱高CD是4米，大雨过后，桥下水面宽度EF是12米，求水面上涨了多少米？
（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图1），可设抛物线的表达式为y=ax²+c，请你求出此时水面上涨了多少米？
（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形（如图2），请你求出此时水面上涨了多少米？

Answer 1

分析 （1）根据题意知抛物线顶点坐标（0，4），设其顶点式y=ax²+4，将点A或点B坐标代入求得其解析式，再求当x=6时y的值即可得答案；
（2）由垂径定理知BC=$\frac{1}{2}$AB、PF=$\frac{1}{2}$EF，设⊙O半径为r，在RT△OBC中根据OB²=OC²+BC²求得r的值及OC的长，再在RT△OFP中根据OF²=PF²+OP²求得OP的长，由OP-OC可得答案．

解答 解：（1）由题意可知抛物线顶点为（0，4），
设抛物线解析式为：y=ax²+4，
将点B（8，0）代入，得：64a²+4=0，
解得：a=-$\frac{1}{16}$，
∴该抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{16}$x²+4，
当x=6时，y=-$\frac{1}{16}$×36+4=$\frac{7}{4}$，
故水位上涨了$\frac{7}{4}$米；

（2）如图，连接OB、OF，记EF与OD交点为P，

根据题意知，BC=$\frac{1}{2}$AB=8m，PF=$\frac{1}{2}$EF=6m，CD=4m，
设⊙O半径为r，则OC=r-4，
由OB²=OC²+BC²，可得r²=（r-4）²+8²，
解得：r=10，
∴OC=6m，
在RT△OPF中，由OF²=PF²+OP²，得：10²=6²+OP²，
解得：OP=8m，
∴PC=OP-OC=8-6=2（m）
故此时水面上涨了2米．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及垂径定理、勾股定理的应用，根据不同条件设出合适的二次函数解析式是解决问题的关键．