Question

如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E₁，F₁，再分别以线段EE₁，FF₁为边作如图2所示的等边△EE₁E₂，等边△FF₁F₂．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE₁E₂与△FF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据tan∠MON=3求出顶点M的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线C的解析式；
（2）①先求出△APD的面积关于点P横坐标的函数关系式，再应用配方法写成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值；
②分0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6三种情况讨论，每种情况又分EE₁与FF₁在同一直线上，EE₂与F₁F₂在同一直线上和E₁E₂与FF₂在同一直线上三种情况讨论．
解答：解：（1）∵对称轴MN的解析式为x=-3，∴ON=3，
∵tan∠MON=3，∴MN=9，
∴M（-3，-9），
∴设抛物线C的解析式为y=a（x+3）²-9，
∵抛物线C经过原点，∴0=a（0+3）²-9，解得a=1，
∴抛物线C的解析式为y=（x+3）²-9，即y=x²+6x；

（2）①∵将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，
∴抛物线C与抛物线C′关于原点O对称，
∴抛物线C′的解析式为y=-x²+6x，
∵当y=0时，x=0或6，
∴点A的坐标为（6，0），
∵点B在抛物线C′上，且其横坐标为2，
∴y=-2²+6×2=8，即点B的坐标为（2，8）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得．
∴直线AB的解析式为y=-2x+12，
∵点P在线段AB上，
∴设点P的坐标为（p，-2p+12），
∴S_△APD=p（-2p+12）=-p²+6p=-（p-3）²+9，
∴当p=3时，△APD面积的最大值为9；
②如图，分别过点E₂、F₂作x轴的垂线，垂足分别为G、H．
根据（2）①知，直线OB解析式为y=4x，直线AB解析式为y=-2x+12．
当0＜t≤2时，E₁在OB上，F₁在AB上，
OE=t，EE₁=4t，EG=2t，OG=t+2t，GE₂=2t，
OF=6-t，FF₁=2t，HF=t，OH=6-t-t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，4t），E₂（t+2t，2t），
F（6-t，0），F₁（6-t，2t），F₂（6-t-t，t）．
（Ⅰ）若EE₁与FF₁在同一直线上，由t=6-t，得t=3，不符合0＜t≤2；
（Ⅱ）若EE₂与F₁F₂在同一直线上，易求得直线EE₂的解析式为y=x-t，
将F₁（6-t，2t）代入，得2t=×（6-t）-t，
解得t=；
（Ⅲ）若E₁E₂与FF₂在同一直线上，易求得E₁E₂的解析式为y=-x+4t+t，
将F（6-t，0）代入，得0=-×（6-t）+4t+t，
解得t=；
当2＜t≤4时，E₁，F₁都在AB上，
OE=t，EE₁=12-2t，EG=6-t，OG=6-t+t，GE₂=6-t，
OF=6-t，FF₁=2t，HF=t，OH=6-t-t，HF₂=t，
∴E（t，0），E₁（t，12-2t），E₂（6-t+t，6-t），
F（6-t，0），F₁（6-t，2t），F₂（6-t-t，t）．
（Ⅰ）若EE₁与FF₁在同一直线上，由t=6-t，得t=3；
（Ⅱ）若EE₂与F₁F₂在同一直线上，易求得直线EE₂的解析式为y=x-t，
将F₁（6-t，2t）代入，得2t=×（6-t）-t，
解得t=，不符合2＜t≤4；
（Ⅲ）E₁E₂与FF₂已在0＜t≤2时同一直线上，故当2＜t≤4时，E₁E₂与FF₂不可能在同一直线上；
当4＜t＜6时，由上面讨论的结果，△EE₁E₂与△FF₁F₂的某一边不可能在同一直线上．
综上所述，当△EE₁E₂有一边与△FF₁F₂的某一边在同一直线上时，t的值为或或3．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到旋转与平移的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数的定义，二次函数的最值，等边三角形的性质，三角形的面积求法等知识．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．