Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D（0，-4），点C（3，0），△ABC是等腰直角三角形，腰AC=BC，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（2，n）和点B．
（1）过点B作BH垂直于x轴于点H，求线段BH的长；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥x轴于点D，过B作BH⊥x轴于点H，可证得△ADC≌△CHB，可求得BH；
（2）由（1）可用n表示出B点坐标，由A、B都在反比例函数的图象上，可得n的值，则可求得n点坐标，可求出反比例函数解析式；
（3）由A点坐标，可求得AC的长，利用三角形面积公式可求得答案．

解答 解：
（1）如图，过A作AD⊥x轴于点D，过B作BH⊥x轴于点H，

∵A（2，n），C（3，0），
∴CD=OC-OD=3-2=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCH=90°，
∴∠DAC=∠BCH，
在△ACD和△CBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCH}\\{∠ADC=∠BHC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH=CD=1；

（2）由（1）可知CH=AD=n，
∴OH=OC+CH=3+n，且BH=1，
∴B（3+n，1），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（2，n）和点B，
∴2n=3+n，解得n=3，
∴A（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；

（3）由（2）可知A（2，3），且C（3，0），
∴AC=$\sqrt{（2-3）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识．在（1）中构造全等三角形是解题的关键，在（2）中用n表示出B点的坐标是解题的关键，在（3）中利用勾股定理求得AC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．