Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是$\frac{30}{13}$≤AM＜6．

Answer 1

分析 首先连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP=EF，即AP=2AM，然后由当AP⊥BC时，AP最小，可求得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围．

解答 解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=13，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S_△BAC=$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$×13×AP，
∴AP=$\frac{60}{13}$，
即AP的范围是AP≥$\frac{60}{13}$，
∴2AM≥$\frac{60}{13}$，
∴AM的范围是AM≥$\frac{30}{13}$，
∵AP＜AC，
即AP＜12，
∴AM＜6，
∴$\frac{30}{13}$≤AM＜6．
故答案为：$\frac{30}{13}$≤AM＜6．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意当AP⊥BC时，AP最小，且AP＜AC．