Question

15．已知四边形ABCD是正方形，点P，Q在直线BC上，且AP∥DQ，过点Q作QO⊥BD，垂足为点O，连接OA，OP．
（1）如图，点P在线段BC上，
①求证：四边形APQD是平行四边形；
②判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（2）若正方形ABCD的边长为2，直接写出BP=1时，△OBP的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）分两种情形，根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式计算即可；

解答 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；

②解：结论：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，
∴OB=OQ，
在△AOB和△OPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=PQ}\\{∠ABO=∠PQO}\\{BO=QO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠BOQ=90°，
∴OA⊥OP；

（2）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ=1+2=3，OE=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{3}{2}$，
∴S_△OPB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ=2-1=1，OE=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$，
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
综上所述，△POB的面积为$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{4}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了二次函数的性质，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；本题综合性强，有一定难度，利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键．