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如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.

(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形;

(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由;

(3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.

 

【答案】

解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90°

∵在△PBA和△FBC中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF,

∴△PBA≌△FBC(SAS)。∴PA=FC,∠PAB=∠FCB。

∵PA=PE,∴PE=FC。

∵∠PAB+∠APB=90°,∴∠FCB+∠APB=90°。

∵∠EPA=90°,∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°,即∠EPC+∠PCF=180°。

∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形。

(2)结论:四边形EPCF是平行四边形,理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90°。

∵在△PBA和△FCB中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF,

∴△PBA≌△FBC(SAS)。∴PA=FC,∠PAB=∠FCB。

∵PA=PE,∴PE=FC。

∵∠FCB+∠BFC=90°,∠EPB+∠APB=90°,∴∠BPE=∠FCB。

∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形。

(3)有。

设BP=x,则PC=3﹣x ,平行四边形PEFC的面积为S,

 。

∵a=﹣1<0,∴抛物线的开口向下,

∴当x=时,S最大=

∴当BP=时,四边形PCFE的面积最大,最大值为

【解析】

试题分析:(1)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠ABP=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论。

(2)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠FBC=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论。

(3)设BP=x,则PC=3﹣x  平行四边形PEFC的面积为S,由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式,再根据二次函数的性质就可以求出其最大值。 

 

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