Question

【题目】已知，如图，在边长为10的菱形ABCD中，cos∠B＝，点E为BC边上的中点，点F为边AB边上一点，连接EF，过点B作EF的对称点B′，

（1）在图（1）中，用无刻度的直尺和圆规作出点B′（不写作法，保留痕迹）；

（2）当△EFB′为等腰三角形时，求折痕EF的长度．

（3）当B′落在AD边的中垂线上时，求BF的长度．

Answer 1

【答案】（1）尺规作图见解析；（2）EF=5或或；（3）.

【解析】

试题（1）分别以F、E为圆心，FB、EB为半径画弧，两弧交于点B，B即为所求；

（2）分情况①当BE=EF时，②BE=BF时，③EF=BF时讨论即可；

（3）连接BB，FE，可知BB⊥FE，依据翻折及勾股定理即可解得.

试题解析：（1）尺规作图：

（2）由翻折知：△FBE≌△FBE，

∴BE=BE，BF=BF，

∵点E为BC边上的中点，

∴BE=BE=5，

① 当BE=EF时，EF=5，

②当BE=BF时，过点F作FG⊥BE于点G，

在Rt△FBG中，BE=BF=5，cos∠B=,

∴BG=，GE=BE-BG=，

FG=，

在Rt△FEG中，FE=；

③当EF=BF时，

过点F作FH⊥BE于点H，BH=BE=，

在Rt△FBH中， cos∠B=，

∴BF=BH×=，

∴EF=，

综上：EF=5或或.

（3）

如图：连接BB，FE，交点 为H，

则BB⊥FE，

∵AN=DN=BE=CE=5，

∴EM=3，BE=BE=5，

∴BM=4，MN=，

BH=，

∴BF=BF=.