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问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
归纳证明:如图3,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为
5
5

分析:图2,求出∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD=∠CAF,根据AAS证两三角形全等即可;图③根据已知和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,根据ASA证两三角形全等即可;图④求出△ABD的面积,根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积,即可得出答案.
解答:证明:图②,
∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠ABD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,
∠ADB=∠CFA
∠ABD=∠CAF
AB=AC

∴△ABD≌△CAF(AAS);
图③,
∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△ABE和△CAF中,
∠ABE=∠CAF
AB=AC
∠BAE=∠ACF

∴△ABE≌△CAF(ASA);
图④,
解:∵△ABC的面积为15,CD=2BD,
∴△ABD的面积是:
1
3
×15=5,
由图3中证出△ABE≌△CAF,
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于△ABD的面积,是5,
故答案为:5.
点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形的面积,三角形的外角性质等知识点,主要考查学生的分析问题和解决问题的能力,题目比较典型,证明过程有类似之处.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•连云港)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)

问题迁移:如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,
3
≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(
9
2
9
2
)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•广阳区一模)问题情境:
如图,正方形ABCD的边长为6,点E是射线BC上的一个动点,连结AE并延长,交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B坐在点B′处.
自主探究:
(1)当
BE
CE
=1时,如图1,延长AB′,交CD于点M.
     ①CF的长为
6
6

     ②求证:AM=FM.
(2)当点B′恰好落在对角线AC上时,如图2,此时CF的长为
6
2
6
2
BE
CE
=
2
2
2
2

拓展运用:
 (3)当
BE
CE
=2时,求sin∠DAB′的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

问题情境:如图1,直角三角板ABC中,∠C=90°,AC=BC,将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上,再将该直角绕点D旋转,并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点.
问题探究:
(1)在旋转过程中,
①如图2,当AD=BD时,线段DP、DQ有何数量关系?并说明理由.
②如图3,当AD=2BD时,线段DP、DQ有何数量关系?并说明理由.
③根据你对①、②的探究结果,试写出当AD=nBD时,DP、DQ满足的数量关系为
 
(直接写出结论,不必证明)
(2)当AD=BD时,若AB=20,连接PQ,设△DPQ的面积为S,在旋转过程中,S是否存在最小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
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