Question

2．如图，AB∥CD，∠CBE=∠CAD=90°．AC=AD=6，DE=4，则BD长为2$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 先求出CE，再由∠CBE=∠CAE=90°，判断出点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，借助∠BAC=∠ACD=45°，得出∠BOC是直角，求出BC，另为判断出三角形DEH是等腰直角三角形，求出EH，再用平行线分线段成比例求出AM，即可得出BG，用勾股定理求出CG，进而求出DG，最后勾股定理即可得出BD．

解答 解：如图，在Rt△ACD中，AC=AD=6，
∴CD=6$\sqrt{2}$，∠ACD=∠ADC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=45°，
连接CE，
在Rt△ACE中，AC=6，AE=AD-DE=2．
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
取CE的中点O，连接OB，
∵∠CBE=∠CAE=90°，
∴点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{10}$
∵OB=OC，
∴BC=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{5}$，
过点E作EH⊥CD，
∵∠ADC=45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵DE=4，
∴EH=DH=$\frac{1}{\sqrt{2}}$DE=2$\sqrt{2}$，
过点A作AM⊥CD，
∴EH∥AM，
∴$\frac{EH}{AM}=\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{6}$，
∴AM=$\frac{3}{2}$EH=3$\sqrt{2}$，
过点B作BG⊥CD，
∴四边形ABGH是矩形，
∴BG=AM=3$\sqrt{2}$，
在Rt△BCG中，BC=2$\sqrt{5}$，BG=3$\sqrt{2}$，
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴DG=CD-CG=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△BDG中，BG=3$\sqrt{2}$，DG=5$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
故答案为：2$\sqrt{17}$．

点评 此题是四点共圆题目，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，圆周角的性质，矩形的判定，解本题的关键是得出∠BOC=90°，作出辅助线是解本题的难点．