Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，延长AB到点C，使BC=AB，D是⊙O上一点，DC=．求证：
（1）△CDB∽△CAD；
（2）CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）连接OD，求出OD²+CD²=OC²，根据勾股定理的逆定理得出∠ODC=90°，得出结论．
解答：证明：（1）∵AB=6，BC=AB，DC=，
∴AC=12，BC=6．
∴．
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD．

（2）（证法一）：连接OD，则有OD=3，
∵OC=9，DC=，
∵DC²+OD²=（6）²+3²=81=9²
∴DC²+OD²=OC²
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
又∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（证法二）：连接OD，则有OD=OA，
∴∠A=∠ADO．
∵△CDB∽△CAD，
∴∠CDB=∠A．
∴∠CDB=∠ADO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
即∠ADO+∠ODB=90°．
∴∠CDB+∠ODB=90°．
即∠ODC=90°．
∴CD⊥OD．
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线．
点评：综合考查相似三角形的判定及勾股定理逆定理的应用．