Question

14．已知二次函数y=kx²-4kx+3k（k≠0）
（1）当k=1时，求该抛物线与坐标轴的交点的坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值；
（3）若直线y=2k与二次函数的图象交于E、F两点，问线段EF的长度是否是定值？如果是，请直接写出其长度；如果不是，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²-4x+3=0可确定该抛物线与x轴的交点的坐标，求自变量为0时的函数值可确定该抛物线与y轴的交点的坐标；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=2，再分类讨论：当k＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质，x=0时，y有最大值；当k＜0时，x=2时，y有最大值；
（3）解方程kx²-4kx+3k=2k得x₁=2-$\sqrt{3}$，x₂=2+$\sqrt{3}$，于是得到E、F的坐标，然后计算两点的横坐标差的绝对值即可得到EF的长．

解答 解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x²-4x+3，
当y=0时，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
所以该抛物线与x轴的交点的坐标为（1，0），（3，0），
当x=0时，y=x²-4x+3=3，则该抛物线与y轴的交点的坐标为（0，3）；
（2）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-4k}{2k}$=2，
当k＞0时，x=0时，y有最大值3k，
当k＜0时，x=2时，y有最大值-k；
（3）线段EF的长度是定值，EF=2$\sqrt{3}$．
kx²-4kx+3k=2k，
整理得x²-4k+1=0，解得x₁=2-$\sqrt{3}$，x₂=2+$\sqrt{3}$，
所以E、F的坐标为（2-$\sqrt{3}$，2k），（2+$\sqrt{3}$，2k）
所以EF=2+$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线与一次函数的交点坐标．注意解决（2）小题时应用分类讨论的思想．