Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E为AD边上一动点（不与点A重合），AF⊥BE，垂足为F，GF⊥CF，交AB于点G，连接EG．设AE=x，S_△BEG=y．
（1）证明：△AFG∽△BFC；
（2）求y与x的函数关系式，并求出y的最大值；
（3）若△BFC为等腰三角形，请直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠GAF=∠FBC，再判断出∠ABF=∠GFC即可得出结论；
（2）先判断出$\frac{AF}{BF}=\frac{EA}{AB}$．再表示出$AG=\frac{EA•BC}{AB}=\frac{4x}{5}$，BG=5-$\frac{4}{5}x$．最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分三种情况讨论利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，∠ABC=90°．
∴∠ABF+∠FBC=90°．
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°．
∴∠ABF+∠GAF=90°．
∴∠GAF=∠FBC．                
∵FG⊥FC，
∴∠GFC=90°．
∴∠ABF=∠GFC．
∴∠ABF-∠GFB=∠GFC-∠GFB．
即∠AFG=∠CFB．               
∴△AFG∽△BFC；              

（2）解：由（1）得△AFG∽△BFC，
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{AF}{BF}$．
在Rt△ABF中，tan∠ADF=$\frac{AF}{BF}$，
在Rt△EAB中，tan∠EBA=$\frac{EA}{AB}$，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{EA}{AB}$．
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{EA}{AB}$．
∵BC=AD=4，AB=5，
∴$AG=\frac{EA•BC}{AB}=\frac{4x}{5}$．                                             
∴BG=AB-AG=5-$\frac{4}{5}x$．
∴$y=\frac{1}{2}BG•AE=\frac{1}{2}（{5-\frac{4}{5}x}）x=-\frac{2}{5}{x^2}+\frac{5}{2}x=-\frac{2}{5}{（{x-\frac{25}{8}}）^2}+\frac{125}{32}$．   
∴y的最大值为$\frac{125}{32}$；     
                                             
（3）解：∵△BFC为等腰三角形
∴①当FC=FB时，如图1，过点F作FH⊥BC于H，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
过点F作FP⊥AB于P，
∴四边形BHFP是矩形，
∴FP=BH=2，
在Rt△BPF中，tan∠PBF=$\frac{FP}{PB}=\frac{2}{PB}$，
在Rt△APF中，tan∠AFP=$\frac{AP}{FP}=\frac{AP}{2}$，
∵∠AFP+∠PAF=90°，∠PBF+∠PAF=90°，
∴∠PBF=∠AFP，
∴$\frac{2}{PB}=\frac{AP}{2}$，
∵AP+PB=AB=5，
∴AP=5-PB，
∴$\frac{2}{PB}=\frac{5-PB}{2}$，
∴PB=4或PB=1（舍），
∵PF∥AE，
∴△PBF∽△ABE，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{FP}{AE}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{2}{AE}$，
∴x=AE=$\frac{5}{2}$；
②当BF=BC=4时，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=3，
易得，△AEF∽△BAF，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3}{4}$，
∴x=AE=$\frac{15}{4}$；
③当FC=BC=4时，如图2，连接CG，
在Rt△CFG和Rt△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{CF=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFG≌Rt△CBG，
∴FG=BG，
∵△ABF是直角三角形，
∴点G是AB的中点，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
由（2）知，AG=$\frac{4}{5}$x，
∴$\frac{4}{5}$x=$\frac{5}{2}$，
∴x=$\frac{25}{8}$；
即：x的值为$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{8}$或$\frac{15}{4}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判断和性质，锐角三角函数，矩形的判定全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是得出∠ABF=∠GFC，解（2）的关键是得出AG和BG，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中等难度的中考常考题．