Question

如图，小明家住在小区B处，P处是学校，小明每天上学沿公路B-C-A-P行走，其中B、A、P在一条直线上，且为南北走向，从B至C为一段弧，其圆心在线段AB上的点O处，从C至A为一条线段，市政府要对这一地区的公路进行改造，新建公路沿线段BOA修建，经测量C在A的北偏东45°，C在B的南偏东30°，AC=300

6

米，问公路修好后小明上学比以前少走多少米？（结果中π取3，

6

取2.4，

3

取1.7）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：连接BC、OC，过C作CH⊥AB于H，在直角△ACH中利用三角函数求得AH的长，在直角△COH中，利用三角函数求得OC的长，则利用弧长公式即可求得弧BC的长，则少走的距离即可求解．

解答：解：连接BC、OC，过C作CH⊥AB于H．
由已知可知∠CAO=45°，∠CBO=30°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO=30°，
∴∠COA=60°．
在直角△ACH中，AH=CH=AC•sin45°=300

6

×

2

2

=300

3

，
在直角△COH中，OH=

CH

tan60°

=

300 3

3

=300，
OC=

CH

sin60°

=

300 3

3 2

=600=OB．
∠BOC=180°-60°=120°，
∴弧BC的长是：

120π•600

180

=400π，
∴小明少走的路程是400π+300

6

-（900+300

3

）≈510（米）．

点评：本题主要考查了方向角含义和弧长的计算公式，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．