Question

下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac＜0；
②若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b²-4ac＞0，则二次函数y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点的个数是2或3；
④若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根．
其中正确的是（ ）
A．②④
B．①③
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：①首先把a+b+c=0变形为b=-a-c，然后代入b²-4ac中利用完全平方公式即可解决问题；
②首先b=2a+3c代入方程的判别式中，然后利用非负数的性质即可解决问题；
③由于b²-4ac＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，由此即可判定此结论是否正确；
④由于b＞a+c，只要给出一个反例即可解决问题．
解答：解：①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b²-4ac=（-a-c）²-4ac=a²+2ac+c²-4ac=a²-2ac+c²=（a-c）²≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=4a²+12ac+9c²-4ac=4a²+8ac+9c²=4（a+c）²+5c²＞0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确；
③∵b²-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=-4，c=-2，
∴b²-4ac=4-32＜0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，故错误．
故选C．
点评：此题主要利用了二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．