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11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0),直线y=h(h为常数,且0<h<6)与BC交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AE,求h为何值时,△AEF的面积最大.
(3)已知一定点M(-2,0),问:是否存在这样的直线y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,请求出h的值和点D的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)利用待定系数法即可解决问题.
(2)由题意可得点E的坐标为(0,h),点F的坐标为( $\frac{h-6}{2}$,h),根据S△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$(h-3)2+$\frac{9}{4}$.利用二次函数的性质即可解决问题.
(3)分三种情形,分别列出方程即可解决问题.

解答 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+6=0}\\{4a+2b+6=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$.
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6.

(2)∵把x=0代入y=-x2-x+6,得y=6,
∴点C的坐标为(0,6),
设经过点A和点C的直线的解析式为y=mx+n,则$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=6}\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$,
∴经过点A和点C的直线的解析式为:y=2x+6,
∵点E在直线y=h上,
∴点E的坐标为(0,h),
∴OE=h,
∵点F在直线y=h上,
∴点F的纵坐标为h,
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6,
解得x=$\frac{h-6}{2}$,
∴点F的坐标为( $\frac{h-6}{2}$,h),
∴EF=$\frac{6-h}{2}$.
∴S△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$(h-3)2+$\frac{9}{4}$,
∵-$\frac{1}{4}$<0且0<h<6,
∴当h=3时,△AEF的面积最大,最大面积是 $\frac{9}{4}$.

(3)存在符合题意的直线y=h.
∵直线AC的解析式为y=2x+6,点F的坐标为( $\frac{h-6}{2}$,h),
在△OFM中,OM=2,OF=$\sqrt{(\frac{h-6}{2})^{2}+{h}^{2}}$,MF=$\sqrt{(\frac{h-6}{2}+2)^{2}+{h}^{2}}$,
①若OF=OM,则=$\sqrt{(\frac{h-6}{2})^{2}+{h}^{2}}$=2,
整理,得5h2-12h+20=0,
∵△=(-12)2-4×5×20=-256<0,
∴此方程无解,
∴OF=OM不成立.
②若OF=MF,则  $\sqrt{(\frac{h-6}{2})^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{h-6}{2}+2)^{2}+{h}^{2}}$,
解得h=4,
把y=h=4代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=4,
解得x1=-2,x2=1,
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为(-2,4).
③若MF=OM,则  $\sqrt{(\frac{h-6}{2}+2)^{2}+{h}^{2}}$=2,
解得h1=2,h2=-$\frac{6}{5}$(不合题意,舍去),
把y=h1=2代入y=-x2-x+6,得-x2-x+6=2.
解得x1=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$,x2=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$,
∵点G在第二象限,
∴点G的坐标为( $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$,2).
综上所述,存在这样的直线y=2或y=4,使△OMF是等腰三角形,当h=4时,点G的坐标为(-2,4);当h=2时,点G的坐标为( $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$,2).

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理一次函数的应用等知识,此题难度较大,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.

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