Question

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．
（3）已知一定点M（-2，0），问：是否存在这样的直线y=h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（ $\frac{h-6}{2}$，h），根据S_△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$（h-3）²+$\frac{9}{4}$．利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分三种情形，分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+6=0}\\{4a+2b+6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6，
∴点C的坐标为（0，6），
设经过点A和点C的直线的解析式为y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=6}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴经过点A和点C的直线的解析式为：y=2x+6，
∵点E在直线y=h上，
∴点E的坐标为（0，h），
∴OE=h，
∵点F在直线y=h上，
∴点F的纵坐标为h，
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6，
解得x=$\frac{h-6}{2}$，
∴点F的坐标为（ $\frac{h-6}{2}$，h），
∴EF=$\frac{6-h}{2}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$（h-3）²+$\frac{9}{4}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0且0＜h＜6，
∴当h=3时，△AEF的面积最大，最大面积是 $\frac{9}{4}$．

（3）存在符合题意的直线y=h．
∵直线AC的解析式为y=2x+6，点F的坐标为（ $\frac{h-6}{2}$，h），
在△OFM中，OM=2，OF=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$，MF=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$，
①若OF=OM，则=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$=2，
整理，得5h²-12h+20=0，
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程无解，
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，则  $\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$，
解得h=4，
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1，
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（-2，4）．
③若MF=OM，则  $\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$=2，
解得h₁=2，h₂=-$\frac{6}{5}$（不合题意，舍去），
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∵点G在第二象限，
∴点G的坐标为（ $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，2）．
综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（ $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，2）．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理一次函数的应用等知识，此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．