Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2．
（1）求证：BC=CD；
（2）在边AB上找点E，连接CE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF．连接EF，如果EF∥BC，试画出符合条件的大致图形，并求出AE：EB的值．

Answer 1

分析：（1）过点A作AH⊥BC，解直角△ABH，可知BH=AD，且CD=2AD，tan∠ABC=2，可得BC=CD．
（2）依题意画出图形，利用AE：EB=DM：CM，根据角度关系，求出FM=CM，FM=2DM，进而可求出比值．

解答：（1）证明：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，如图，
在Rt△AHB中，∵tan∠ABC=2，
∴AH=2BH，
∵AD∥BC，∠BCD=90°
∴AH=DC，AD=HC，
∵CD=2AD，
∴AH=2HC，
∴BH=HC，即BC=CD；

（2）解：画出符合条件的大致图形，
根据题意，得：△ECF中，CE=CF，∠ECF=90°，∠FDC=∠CBE，
∵EF∥BC，∴DC⊥EF，
∴∠ECD=∠FCD=45°，CM=FM，
设EF与DC交于点M，
Rt△DMF中，∵tan∠FDM=tan∠ABC=2，
∴FM=2DM
∴

AE

EB

=

DM

CM

=

1

2

．

点评：（1）本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．
（2）考查了作图能力以及平行线平分线段成比例定理．