Question

【题目】△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F．

（1）求证：DF∥BC；

（2）连接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

（1）根据切线的性质得：OD⊥DF，由角平分线得∠BAD＝∠CAD，则所对的弧相等，由垂径定理得：OD⊥BC，从而得结论；

（2）先得∠BOD＝∠BAC，根据tan∠BOD＝，设ON＝x，BN＝，利用勾股定理解决问题．

（1）证明：连接OD，

∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴OD⊥BC，

∴DF∥BC；

（2）解：连接OB，

∵，

∴∠BOD＝∠BAC，

由（1）知OD⊥BC，

∴tan∠BOD＝，

∵tan∠BAC＝2，

∴，

设ON＝x，BN＝2x，

由勾股定理得：OB＝3x，

∴OD＝3x，

∴DN＝3x﹣x＝2x，

Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，

∴，

解得x＝2或﹣2（舍），

∴OB＝OD＝3x＝6，

Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．