Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点0为△ABC的三条角平分线的交点，0D⊥BC，0E⊥AC，0F⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=5cm、BC=4cm，CA=3cm，则点0到三边AB、AC和BC的距离分别等于 （　　）

• A． 1cm，1cm，1cm
• B． 1.5cm，1.5cm，1.5cm
• C． 2cm，2cm，2cm
• D． 2cm，1.5cm，1cm

Answer 1

分析 由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=4-x，AF=AE=3-x，所以3-x+4-x=5，解答即可．

解答 解：连接OB，如图所示：
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE=OF=OD，
在△BOF与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{OB=OB}\\{∠OFB=∠ODB=90°}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD=BF，
同理可证：AE=AF，CE=CD，
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，
∴OECD是正方形，
设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=4-x，AF=AE=3-x，
∴BF+FA=AB=5，即3-x+4-x=5，
解得x=1，
则OE=OF=OD=1，
故选A．

点评 此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点；熟练掌握角的平分线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．