Question

3．已知△ABC内切圆O于点D、E、F，延长CO交EF于M，延长BO交EF于G，证明．S_△BOC=S_{四边形AMOG}．

Answer 1

分析 连结AO、DO、EO、OF、BM，如图，根据切线长定理可得AE=AF，根据切线的性质可得OE⊥AB即∠BEO=90°，OF⊥AC即∠AFO=90°，OD⊥BC，由点O为三角形内心可得∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠EAO=∠FAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，从而可得到∠AOF=∠MOB=∠AEF=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，即可得到E、B、O、M四点共圆，根据圆周角定理可得∠BMO=∠BEO=90°，从而可得∠BMO=∠AFO=90°，从而可得△AOF∽△BOM，运用相似三角形的性质可得OA•MG=$\frac{OB•OF•MG}{OM}$．再由E、B、O、M四点共圆可得∠GMO=∠EBO=∠OBC，从而可得△MOG∽△BOC，运用相似三角形的性质可得BC•OF=$\frac{OB•MG•OF}{OM}$，从而可得OA•MG=BC•OF，由OF=OD可得OA•MG=BC•OD．由AE=AF，∠EAO=∠FAO可得AO⊥EF，则有S_{四边形AMOG}=$\frac{1}{2}$OA•MG．由OD⊥BC可得S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OD，即可得到S_△BOC=S_{四边形AMOG}．

解答 证明：连结AO、DO、EO、OF、BM，如图所示．
∵△ABC的内切圆⊙O与三角形三边分别相切于点D、E、F，
∴AE=AF，
OE⊥AB即∠BEO=90°，OF⊥AC即∠AFO=90°，OD⊥BC，
∠ABO=∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠EAO=∠FAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠AOF=90°-∠OAF=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠MOB=∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠AEF=∠AFE═$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠AOF=∠MOB=∠AEF，
∴E、B、O、M四点共圆，
∴∠BMO=∠BEO=90°，
∴∠BMO=∠AFO=90°，
∴△AOF∽△BOM，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{OM}$，
∴OA=$\frac{OB•OF}{OM}$，
∴OA•MG=$\frac{OB•OF•MG}{OM}$．
∵E、B、O、M四点共圆，
∴∠GMO=∠EBO=∠OBC．
又∵∠MOG=∠BOC，
∴△MOG∽△BOC，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MG}{BC}$，
∴BC=$\frac{OB•MG}{OM}$，
∴BC•OF=$\frac{OB•MG•OF}{OM}$，
∴OA•MG=BC•OF．
∵OF=OD，
∴OA•MG=BC•OD．
∵AE=AF，∠EAO=∠FAO，
∴AO⊥EF，
∴S_{四边形AMOG}=$\frac{1}{2}$OA•MG．
∵OD⊥BC，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OD，
∴S_△BOC=S_{四边形AMOG}．

点评 本题主要考查了四点共圆的判定、圆周角定理、切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，证到E、B、O、M四点共圆，进而证到△AOF∽△BOM及△MOG∽△BOC是解决本题的关键．