Question

如图，已知抛物线的顶点坐标是（2，-1），且经过点A（5，8）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴任一点，连接AP、BP．试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
∵抛物线经过A（5，8），∴8=a（5-2）²-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B（0，3）
令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
进而得出（1，0），D（3，0）；

（3）取点B关于x轴的对称点B′（0，-3），连接AB′交x轴于点P．
则PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′为直线段，∴AP+BP的最小值为线段AB′．
设直线AB′的解析式为y=kx+b过点A（5，8）和B′（0，-3），
∴

8=5k+b -3=b

，
解得：

k= 11 5 b=-3

，得AB′的解析式为：y=

11

5

x-3，
当y=0时，x=

15

11

，
∴点P的坐标为（

15

11

，0）．