Question

【题目】如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A(3，0)，C(0，2)，点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是_____．

Answer 1

【答案】5+

【解析】

作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，此时四边形MNFE的周长最小．根据勾股定理和轴对称性质可求解.

解：由图可得；E(3，1)；F(1，2)

如图，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，此时四边形MNFE的周长最小．

∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，

设直线E′F′的解析式为y＝kx+b，

有解这个方程组，

得

∴直线E′F′的解析式为．

当y＝0时，x＝，

∴M点的坐标为(，0)．

当x＝0时，y＝，

∴N点的坐标为(0，)．

∵E与E′关于x轴对称，F与F′关于y轴对称，

∴NF＝NF′，ME＝ME′．F′B＝4，E′B＝3．

在Rt△BE′F′中，F′E′＝

∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝F′E′＝5．

在Rt△BEF中，EF＝．

∴FN+NM+ME+EF＝5+，

即四边形MNFE的周长最小值是5+．

故答案为：5+