Question

16．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中A点的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，点C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由点A与点B关于直线x=-1对称可求得点B的坐标；
（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，设点P的坐标为（a，a²+2a-3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S_△POC=4S_△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
②先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x²+2x-3），则点Q的坐标为（x，-x-3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，A点的坐标为（-3，0），∴点B的坐标为（1，0）．
（2）①将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．
∵将x=0代入得y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
∴OC=3．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB=1．
设点P的坐标为（a，a²+2a-3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$OC•|a|=$\frac{1}{2}$OC•OB，即$\frac{1}{2}$×3×|a|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，解得a=±4．
当a=4时，点P的坐标为（4，21）；
当a=-4时，点P的坐标为（-4，5）．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）．
②如图所示：

设AC的解析式为y=kx-3，将点A的坐标代入得：-3k-3=0，解得k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
设点D的坐标为（x，x²+2x-3），则点Q的坐标为（x，-x-3）．
∴QD=-x-3-（ x²+2x-3）=-x-3-x²-2x+3=-x²-3x=-（x²+3x+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$）=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值，QD的最大值=$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了抛物线的对称性、待定系数法求二次函数的解析式，列出线段QD的长与点P横坐标x之间的函数关系是解题的关键．