Question

（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM²=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；
（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．

解答：（1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．

（2）解：∵△ADP∽△ABQ，
∴

AD

AB

=

DP

QB

，即

10

20

=

x

QB

，解得QB=2x．
∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD-DP=20-x．
如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，
∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线，
∴MN=

1

2

PC=

1

2

（20-x）=10-

1

2

x，
BN=

1

2

QC-BC=

1

2

（BC+QB）-BC=

1

2

（10+2x）-10=x-5．
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=（10-

1

2

x）²+（x-5）²=

5

4

x²-20x+125，
∴y=

5

4

x²-20x+125（0＜x＜20）．
∵y=

5

4

x²-20x+125=

5

4

（x-8）²+45，
∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为

45

=3

5

．

（3）解：设PQ与AB交于点E．
如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN．
∵△ADP∽△ABQ，
∴

AD

AB

=

DP

QB

，即

10

a

=

8

QB

，解得QB=

4

5

a．
∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，
∴

BE

PC

=

QB

QC

，即

BE

a-8

=

4 5 a

4 5 a+10

，解得BE=

2a(a-8)

2a+25

．
∵MN为中位线，∴MN=

1

2

PC=

1

2

（a-8）．
∵BE＞MN，∴

2a(a-8)

2a+25

＞

1

2

（a-8），解得a＞12.5．
∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问中，由BM²=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件．