Question

14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD=∠COD．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明；
（3）如图2，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求$\frac{FG}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线；
（2）连接CE、BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形；
（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有$\frac{FC}{BD}$=$\frac{AF}{OB}$，即FC=$\frac{BD•AF}{OB}$，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，即FG=$\frac{BD•AF}{AB}$，然后求FC与FG的比即可一个定值．

解答 （1）证明：如图1，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BA，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；

（2）证明：连接CE、BE，如图1，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四边形OACE是平行四边形，
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形；

（3）解：如图2，∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴$\frac{FC}{BD}$=$\frac{AF}{OB}$，即FC=$\frac{BD•AF}{OB}$，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，即FG=$\frac{BD•AF}{AB}$，
∴$\frac{FC}{FG}$=$\frac{AB}{OB}$=2，
∴$\frac{FG}{FC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题，熟练掌握菱形的判定方法，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理等知识点，属于中档题．