Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于B（-2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x的交点．
（1）求二次函数的解析表达式；
（2）T为对称轴l上一动点，以点B为圆心，BT为半径作⊙B，写出直线CT与⊙B相切时，T点的坐标；
（3）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，直接写出PE的取值范围；
（4）对于（1）中得到的关系式，若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设x的最大值为m，最小值为n，次小值为s，求m、n、s的值．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数．）

Answer 1

分析：（1）将B、C坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．
（2）若⊙B与直线CT相切，那么BT⊥CT，易得抛物线的对称轴方程，可设出点T的纵坐标，利用直线BT、直线CT的垂直，即斜率的乘积为-1，即可列出关于T点纵坐标的方法，求得点T的坐标．
（3）此题应该结合圆周角定理来理解，以E为圆心，BC为半径作圆，交抛物线于M、N两点，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是锐角，那么点E必在M、N之间的函数图象上，当P位于M或N得位置时，PE=3，当P位于抛物线的顶点时，PE的值为抛物线顶点纵坐标，由此可求得PE的取值范围．
（4）将（1）题所得抛物线解析式化为关于x的一元二次方程，由于方程有整数解，那么根的判别式大于0，可据此求得y的取值范围，由于y是一个完全平方数，进而可求得y的值，再将其值代入方程中即可求得x的值，从而确定m、n、s的值．（也可通过观察函数图象来确定y的值）

解答：解：（1）由于抛物线的图象经过B（-2，0），C（4，0）两点，则有：

-4-2b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=2 c=8

；
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+8．（4分）

（2）易知抛物线的对称轴为：x=1；
设点T（1，m），
则直线BT的斜率：k₁=

m

1+2

，直线CT的斜率：k₂=

m

1-4

；
若⊙B与CT相切，则有：

m

1+2

×

m

1-4

=-1，
解得m=±3；
故T（1，3）或（1，-3）．（2分）

（3）以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点；
由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，
此时ME=NE=

1

2

BC=3；
若∠BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE＞3；
易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），
当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9；
综上可知，PE的取值范围为：3＜PE≤9．（2分）

（4）法一：由y=-x²+2x+8，故关于x的一元二次方程x²-2x+（y-8）=0有整数解，
因此△_x=4-4（y-8）=-4y+36是完全平方数，且△_x=-4y+36≥0，
则y≤9，又y是一个完全平方数，
所以，y只能为0，1，4，9；（1分）
分别代入方程x²-2x+（y-8）=0，又x为整数，
解得

x=4 y=0

，

x=-2 y=0

，

x=1 y=9

，
因此m=4、n=-2、s=1．（1分）
法二：由图象不难看出0≤y≤9，又y是一个完全平方数，
所以y只能为0，1，4，9，（1分）
分别代入关系式y=-x²+2x+8，又x为整数，
解得

x=4 y=0

，

x=-2 y=0

，

x=1 y=9

，
因此m=4、n=-2、s=1．（1分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、根的判别式等重要知识；涉及的知识点较多，综合性强，难度较大．