Question

10．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=1，OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OB=2OH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_扇形AOB-S_△AOB进行计算即可．

解答 （1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴四边形OADC为菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=DC}\\{∠BOC=∠ADC}\\{OC=DA}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OBH=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$AB=1，
OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
OB=2OH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_阴影部分=S_扇形AOB-S_△AOB
=$\frac{120•π•（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4π-3\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．